余りの算数

ある自然数 n について、n, n+2, n+4 の全てが素数であるのは、n = 3 のときだけ、と言う問題。

n が偶数だと明らかにダメだよな。なので n が奇数の場合をちょっと考えてみる。"3,5,7","5,7,9","7,9,11","11,13,15" とか全部数え上げてもきりがないんだけど、よくみると必ず 3 の倍数があるよな。というわけで 3 で割った余りを考えてみよう。

n を 3 で割った余りを (n % 3) と書いてみるとなんかわかるかも。n = 3 × k + d なら n % 3 = d % 3 だから、 (n + a) % 3 = (3 × k + d + k) % 3 = (d + k) % 3 だよね。

n n % 3
n + 2 (n + 2) % 3 = n % 3 + 2 % 3
= (n % 3) + 2
n + 4 (n + 4) % 3 = n % 3 + 4 % 3
= (n % 3) + 1

n を 3 で割った余りは 0, 1, 2 のどれかで、余りが 0 ってことは n は 3 で割り切れる、つまり素数じゃないってこと。

n % 3 0 % 3
= 0		 1 % 3
= 1		 2 % 3
= 2
n + 2 2 % 3
= 2		 3 % 3
= 0		 4 % 3
= 1
n + 4 4 % 3
= 1		 5 % 3
= 2		 6 % 3
= 0

お、n がどんな数でもどこかに 3 の倍数が出てくることがわかった。さて 3 の倍数のなかで素数なのは 3 だけ。つまり n = 3 のときだけ素数が三つの数が素数になるんだね。

今日の勉強おわり。